Question

定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：对于任意x，y∈R⁺，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．若对于x＞1时，恒有f（x）＞0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明；
（Ⅲ）设a为正常数，解关于x的不等式f（x²+a）≤f[（a+1）x]．

Answer 1

分析：（I）将x=1、y=1代入题中的等式，化简即可得出f（1）=0；
（II）根据题意进行配方：f(x2)=f(x1•

x2

x1

)=f(x1)+f(

x2

x1

)，结合条件x＞1时恒有f（x）＞0，利用函数单调性的定义加以证明，可得函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（III）由前面证出的单调性建立关于x的不等式组，注意到a＞0且（a+1）x＞0，化简不等式为（x-a）（x-1）≤0，根据一元二次方程的解法加以讨论，可得原不等式的解集．

解答：解：（I）将x=1、y=1代入f（xy）=f（x）+f（y），得
f（1×1）=f（1）+f（1），化简得f（1）=0；
（II）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
证明：设x₁、x₂为（0，+∞）上的任意两个数，且x₁＜x₂，
则

x2

x1

＞1，由x＞1时f（x）＞0得f(

x2

x1

)＞0．
∴f(x2)=f(x1•

x2

x1

)=f(x1)+f(

x2

x1

)＞f(x1)，即f（x₁）＜f（x₂）．
由此可得函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
（III）由（II）可得：原不等式等价于

x2+a＞0 (a+1)x＞0 x2+a≤(a+1)x

，
∵a＞0且（a+1）x＞0，∴不等式等价于x²+a≤（a+1）x，即（x-a）（x-1）≤0．
∴①当a=1时，原不等式解集为{1}；②当0＜a＜1时，原不等式解集为[a，1]；
③当a＞1时，原不等式解集为[1，a]．

点评：本题给出抽象函数满足的条件，求函数的单调性并解关于x的不等式．着重考查了函数单调性的证明及其应用、赋值法处理抽象函数和不等式的解法等知识，属于中档题．