Question

20．偶函数f（x）满足f（1-x）=f（1+x），且在x∈[0，1]时，f（x）=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，若直线kx-y+k=0（k＞0）与函数f（x）的图象有且仅有三个交点，则k的取值范围是$（\frac{{\sqrt{15}}}{15}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$．

Answer 1

分析 根据函数的周期性，作出函数f（x）的图象，利用直线和圆相切的条件求出直线斜率，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：由kx-y+k=0（k＞0）得y=k（x+1），（k＞0）
则直线过定点A（-1，0），
当x∈[0，2）时，f（x）=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，即（x-1）²+y²=1，（y≥0），
对应的根据为圆心在（1，0）的上半圆，
∵f（x）满足f（x+2）=f（x），
∴当x∈[2，4）时，（x-3）²+y²=1，（y≥0），此时圆心为（3，0），
当直线和圆（x-1）²+y²=1，（y≥0）相切时此时有2个交点
此时圆心（1，0）到直线的距离d=$\frac{|k+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（舍）．
当线和圆（x-3）²+y²=1，（y≥0）相切时此时有4个交点，
此时圆心（3，0）到直线的距离d=$\frac{|3k+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=$\frac{\sqrt{15}}{15}$或k=-$\frac{\sqrt{15}}{15}$（舍）．
若若直线kx-y+k=0（k＞0）与函数f（x）的图象有且仅有三个不同交点，
则直线在AB和AC之间，
则$\frac{\sqrt{15}}{15}$＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$（\frac{{\sqrt{15}}}{15}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$．

点评 本题主要考查函数与方程之间的应用，利用数形结合以及直线和圆心相切的等价条件是解决本题的关键，属于中档题．