Question

10．设常数a∈R，集合A={x|（x-1）（x-a）≥0}，B={x|x≥a-2}，若A∪B=R，则a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，3）
• B． （-∞，3]
• C． （3，+∞）
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．

解答 解：当a＞1时，A=（-∞，1]∪[a，+∞），B=[a-2，+∞）
若A∪B=R，则a-2≤1，
∴1＜a≤3；
当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；
当a＜1时，A=（-∞，a]∪[1，+∞），B=[a-2，+∞），
若A∪B=R，则a-2≤a，显然成立，
∴a＜1；
综上，a的取值范围是（-∞，3]．
故选B．

点评 此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．