Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点，则异面直线DE与PA所成角的余弦值是（　　）

• A、0
• B、

  2

  4

• C、

  1

  2

• D、

  3

  6

Answer 1

分析：以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系．表示出空间中各个点的坐标，进而给出相关向量的坐标，然后利用异面直线的夹角的余弦等于其方向向量夹角余弦值的绝对值，求出夹角．

解答：解：以O为坐标原点，射线OB、OC、
OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系．
在Rt△AOB中OA=

3

，于是，点A、B、
D、P的坐标分别是A（0，-

3

，0），
B（1，0，0），D（-1，0，0），P（0，0，

3

）．
E是PB的中点，则E（

1

2

，0，

3

2

）于是

DE

=（

3

2

，0，

3

2

），

AP

=（0，

3

，

3

）．
设

DE

与

AP

的夹角为θ，有cosθ=

3 2

9 4 + 3 4 × 3+3

=

2

4

，θ=arccos

2

4

，
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos

2

4

．

点评：空间两条直线夹角的余弦值等于它们方向向量夹角的余弦的绝对值；空间直线与平面所成角的余弦值等于的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于两半平面的法向量夹角的余弦值的绝对值．