题目内容
已知在一个60°的二面角α-l-β的棱上有两个点A、B，AC、BD分别是在α、β内且垂直于AB的两条线段，又知AB=2cm，AC=3cm，BD=4cm，求：
（1）CD的长；
（2）CD与AB所成的角．
（1）CD的长；
（2）CD与AB所成的角．
分析：（1）由已知求出
和
所成角的大小，然后利用向量的加法运算得
=
+
+
，两边求模的平方运算后可得答案；
（2）直接由
和
的数量积运算求CD与AB所成的角．
| CA |
| BD |
| CD |
| CA |
| AB |
| BD |
（2）直接由
| CD |
| AB |
解答：
解：如图，
（1）由已知CA⊥AB，AB⊥BD，且二面角α-l-β的大小为60°，
得＜
，
＞=180°-60°=120°
∴|
|2=(
+
+
)2
=|
|2+|
|2+|
|2+2×3×4×cos120°
=32+22+42-2×3×4×
=17
∴|
|=
；
（2）、∵
•
=(
+
+
)•
=|
|2=4
∴cos＜
，
＞=
=
=
∴＜
，
＞=arccos
即CD与AB所成的角为arccos
．
解：如图，（1）由已知CA⊥AB，AB⊥BD，且二面角α-l-β的大小为60°，
得＜
| CA |
| BD |
∴|
| CD |
| CA |
| AB |
| BD |
=|
| CA |
| AB |
| BD |
=32+22+42-2×3×4×
| 1 |
| 2 |
∴|
| CD |
| 17 |
（2）、∵
| CD |
| AB |
| CA |
| AB |
| BD |
| AB |
| AB |
∴cos＜
| CD |
| AB |
| ||||
|
|
| 4 | ||
|
| 2 |
| 17 |
| 17 |
∴＜
| CD |
| AB |
| 2 |
| 17 |
| 17 |
即CD与AB所成的角为arccos
| 2 |
| 17 |
| 17 |
点评：本题是与二面角有关的空间几何体，考查了利用空间向量求解空间距离和空间角的大小，解答的关键是把空间向量转化为平面向量，利用平面向量的有关运算求解．是中档题．
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