题目内容
10．已知函数f（x）=asinx+bcosx（其中ab≠0）且对任意的x∈R，有f（x）≤f（$\frac{π}{4}$），给出以下命题：①a=b；
②f（x+$\frac{π}{4}$）为偶函数；
③函数y=f（x）的图象关于点（$\frac{5π}{4}$，0）对称；
④函数y=f′（x）的图象可由函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{2}$得到；
⑤函数f（x）在y轴右侧的图象与直线y=$\frac{1}{2}a$的交点按横坐标从小到大依次为P1，P2，P3，P4，…，则|P2P4|=2π．
其中正确命题的序号是①②④⑤．（将所有正确命题的序号都填上）
分析 由三角函数的最大值相等列式判断①；利用辅助角公式化简代值判断②；求出$f（\frac{5π}{4}）$得值判断③；求导后利用函数的图象平移判断④；由函数图象平移周期不变判断⑤
解答 解：①f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}sin（x+θ）$，
∵对任意的x∈R，有f（x）≤f（$\frac{π}{4}$），
∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}（a+b）$，则2a2+2b2=（a+b）2，
∴（a-b）2=0，则a=b，故①正确；
②∵f（x）=asinx+bcosx=a（sinx+cosx）=$\sqrt{2}asin（x+\frac{π}{4}）$，
∴f（x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}asin（x+\frac{π}{2}）=\sqrt{2}acosx$，
∴f（x+$\frac{π}{4}$）为偶函数，故②正确；
③∵$f（\frac{5π}{4}）$=$\sqrt{2}asin（\frac{5π}{4}+\frac{π}{4}）=\sqrt{2}asin\frac{3π}{2}=-\sqrt{2}a$≠0，故③错误；
④y=f′（x）=acosx-asinx=$-\sqrt{2}asin（x-\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}asin（\frac{π}{4}-x）$，
而f（x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{2}asin（x+\frac{π}{2}+\frac{π}{4}）=\sqrt{2}acos（x+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}asin（\frac{π}{4}-x）$，故④正确；
⑤由f（x）的周期为2π，而f（x）=$\sqrt{2}asin（x+\frac{π}{4}）$是把$y=\sqrt{2}asinx$向左平移$\frac{π}{4}$个单位得到的，
∴|P2P4|=2π，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数的图象和性质，训练了三角函数的图象平移，是中档题．
阅读快车系列答案| A． | {1} | B． | {1，2} | C． | {2，3} | D． | {3，4} |
| A． | 向右平移$\frac{π}{6}$个单位 | B． | 向右平移$\frac{π}{3}$个单位 | ||
| C． | 向左平移$\frac{π}{6}$个单位 | D． | 向左平移$\frac{π}{3}$个单位 |
| A． | {x|-1＜x＜-$\frac{1}{2}$，或2＜x＜3} | B． | {x|2＜x＜3} | ||
| C． | {x|-$\frac{1}{2}$＜x＜2} | D． | {x|-1＜x＜-$\frac{1}{2}$} |