Question

已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为F(－2，0)．

(1)求双曲线方程；

(2)设Q是双曲线上一点，且过点F，Q的直线l与y轴交于点M，若= 2，求直线l的方程．

 

Answer 1

(1)

(2)y＝±(x＋2)或y＝±(x＋2)

【解析】(1)由题意可设所求的双曲线方程为，

则有e＝＝2，c＝2，所以a＝1，则b＝，

所以所求的双曲线方程为 ．

(2)因为直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2，0)，

所以l的斜率一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)，

令x＝0，得M(0，2k)，

因为= 2|M，Q，F共线于l，

所以= 2或= －2

当=2时，， ，

所以Q的坐标(－，)

因为Q在双曲线上，

所以，所以k＝±，

所以直线l的方程为y＝±(x＋2)．

当= －2时，

同理求得Q(－4，－2k)，代入双曲线方程得，

16－＝1，所以k＝±，

所以直线l的方程为y＝±(x＋2)．

综上，所求的直线l的方程为y＝± (x＋2)或y＝±(x＋2)．