Question

1．省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=|$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$-a|+2a+$\frac{2}{3}$，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，1]，若用每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．
（1）令t=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，x∈[0，24]，求t的取值范围；
（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

Answer 1

分析 （1）分子分母同除x，利用基本不等式得出t的范围；
（2）设g（t）=|t-a|+2a+$\frac{2}{3}$，求出g（t）的单调性，讨论g（t）的最大值M（a），令M（a）≤2解得出结论．

解答 解：（1）当x=0时，t=0；
当0＜x≤24时，$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≤1（当且仅当x=1时取等号）
∴0≤t≤1．
综上所得t的取值范围是[0，1]．
（2）当a∈[0，1]时，记g（t）=|t-a|+2a+$\frac{2}{3}$，
则g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-t+3a+\frac{2}{3}，0≤t≤a}\\{t+a+\frac{2}{3}，a＜t≤1}\end{array}\right.$，
∴g（t）在[0，a]上单调递减，在（a，1]上单调递增，
且g（0）=3a+$\frac{2}{3}$，g（1）=a+$\frac{5}{3}$，
g（0）-g（1）=2（a-$\frac{1}{2}$）．
①当0$≤a≤\frac{1}{2}$时，M（a）=g（1）=a+$\frac{5}{3}$，
令g（1）=a+$\frac{5}{3}$≤2，解得0$≤a≤\frac{1}{3}$．
②当$\frac{1}{2}$＜a≤1时，M（a）=g（0）=3a+$\frac{2}{3}$，
令g（0）=3a+$\frac{2}{3}$≤2，无解．
故当0$≤a≤\frac{1}{3}$时不超标，当$\frac{1}{3}＜a≤1$时超标．

点评 本题考查了分段函数的最值计算，换元法思想，属于中档题．