Question

6．设圆C与两圆（x+$\sqrt{5}$）²+y²=4，（x-$\sqrt{5}$）²+y²=4中的一个内切，另一个外切，求圆心C的轨迹L的方程．

Answer 1

分析 根据两圆的方程分别找出两圆心和两半径，根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减，外切时，两圆心之间的距离等于两半径相加，可知圆心C到圆心F₁的距离加2与圆心C到圆心F₂的距离减2或圆心C到圆心F₁的距离减2与圆心C到圆心F₂的距离加2，得到圆心C到两圆心的距离之差为常数4，且小于两圆心的距离2$\sqrt{5}$，可知圆心C的轨迹为以原点为中心，焦点在x轴上的双曲线，根据a与c的值求出b的值，写出轨迹L的方程即可．

解答 解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为F₁（-$\sqrt{5}$，0）、F₂（$\sqrt{5}$，0），
由题意得：|CF₁|+2=|CF₂|-2或|CF₂|+2=|CF₁|-2，
∴||CF₂|-|CF₁||=4=2a＜|F₁F₂|=2$\sqrt{5}$=2c，
可知圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴为4，焦距为2$\sqrt{5}$的双曲线，
因此a=2，c=$\sqrt{5}$，则b²=c²-a²=1，
所以轨迹L的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1．

点评 此题考查学生会根据已知条件得到动点的轨迹方程，掌握双曲线的简单性质，灵活运用两点间的距离公式及三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解决实际问题，是一道中档题．