Question

3．在直角坐标系xOy中，抛物线C：x²=-2py（p＞0）与直线y=kx+m（m＜0）（其中m、p为常数）交于P、Q两点．
（1）当k=0时，求P、Q两点的坐标；
（2）试问y轴上是否存在点M，无论k怎么变化，总存在以原点为圆心的圆与直线MP、MQ都相切，若存在求出M的坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）联立方程，解得即可，
（2）假设存在点M（0，y₀）满足条件，由已知直线MP、MQ的倾斜角互为补角，根据斜率的关系得到2km₁m₂+（m-y₀）（x₁+x₂）=0，再由韦达定理
，代入计算即可．

解答 解：（1）当k=0时，直线为y=m（m＜0），联立$\left\{\begin{array}{l}y=m\\{x^2}=-2py\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}y=m\\ x=±\sqrt{-2pm}\end{array}\right.$，
所以$P（{-\sqrt{-2pm}，m}），Q（{-\sqrt{-2pm}，m}）$；
（2）假设存在点M（0，y₀）满足条件，由已知直线MP、MQ的倾斜角互为补角，
即k_MP=-k_MQ，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
所以$\frac{{{y_1}-{y_0}}}{x_1}=-\frac{{{y_2}-{y_0}}}{x_2}$，
又y₁=kx₁+m，且y₂=kx₂+m，
所以2km₁m₂+（m-y₀）（x₁+x₂）=0①
又由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}=-2py\end{array}\right.$消y得x²+2pkx+2pm=0，
由韦达定理：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-2pk\\{x_1}{x_2}=2pm\end{array}\right.$，
代入①得2k•2pm+（m-y₀）（-2pk）=0，
所以y₀=-m，
所以M（0，-m），
故点M（0，-m）符合题目要求．

点评 本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系和定点问题，属于中档题．