Question

3．设函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-（{a-1}）x-alnx$．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）已知函数f（x）有极值m，求证：m＜1．
（已知ln0.5≈-0.69，ln0.6≈-0.51）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出$m=f（a）=-\frac{1}{2}{a^2}+a-alna$，根据f'（a）=-a-lnaf'（a）=0有唯一根a₀，得到a₀∈（0.5，0.6），代入判断即可．

解答 解：（I）$f'（x）=x-（a-1）-\frac{a}{x}=\frac{{{x^2}-（a-1）x-a}}{x}（x＞0）$$f'（x）=\frac{（x+1）（x-a）}{x}$．
当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．
当a＞0时，解f'（x）＞0得x＞a，解f'（x）＜0得0＜x＜a．
所以f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．
综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．
（II）由（I）知a＞0且$m=f（a）=-\frac{1}{2}{a^2}+a-alna$，
f'（a）=-a-lna，f'（a）=0有唯一根a₀，
∵ln0.5＜-0.5，ln0.6＞-0.6，∴a₀∈（0.5，0.6）．
且f（a）在（0，a₀）上递增，在（a₀，+∞）递减，
所以m=f（a）≤f（a₀）=-$\frac{1}{2}$${{a}_{0}}^{2}$+a₀-a₀lna₀=$\frac{1}{2}$${{a}_{0}}^{2}$+a₀＜$\frac{1}{2}$×0.36+0.6=0.78＜1．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．