Question

如图，在直三棱柱中， ，，点是的中点，

（1）求证：∥平面；

（2）设点在线段上，，且使直线和平面所成的角的正弦值为，求的值．

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；（3）把线面平行、线面垂直的条件写完备，不要漏写．

试题解析：（Ⅰ）证明：在三棱柱中，

连接交于点，连接，则是的中点

在中，点是的中点，所以∥，

又，，

所以∥平面．

（Ⅱ）在中，，，点是的中点

所以，又，是平面内的相交直线，

所以平面，可知．

又，是平面内的相交直线，交点是D，

知平面．平面

在三棱柱中，为线段上的点，

过分别作于点，于点，连接

由平面，，得

又，、是平面内的相交直线

所以平面，

是在平面内的射影，

是直线和平面所成的角．

设，由得，

可得，

所以在中，，解得 ．

考点：（1）证明直线与平面平行；（2）直线和平面所成的角．