Question

如图所示，已知是等边三角形，平面ABC，平面ABC，且EC、DB在平面ABC的同侧，M为EA的中点，CE＝2BD.

（Ⅰ）求证：MD∥面ABC；

（Ⅱ）求证：平面DEA⊥平面ECA.

Answer 1

（Ⅰ）证明：如图，取AC中点N，连结MN、BN，

∵EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，∴EC∥BD. …………………2分

△ECA中，M、N分别是EA、CA中点，∴MN∥EC，

且MN＝EC.又∵EC＝2BD，∴MN∥BD且MN＝BD.

∴四边形MNBD是平行四边形．…………………4分

∴MD∥BN.，又，，所以MD∥面ABC；………………… 6分

（Ⅱ）∵正三角形ABC中，N是AC中点，∴BN⊥AC. ………………… 8分

又∵EC⊥平面ABC，平面AEC⊥平面ABC，且交线为AC，，∴BN⊥平面ECA. …………………10分

而MD∥BN.∴MD⊥平面ECA，因，所以平面DEA⊥平面ECA. …… 12分