Question

20．如图，双曲线k²x²-y²=1（k＞0）的两条渐近线与圆（x+2）²+y²=5在x轴的上方交于A、B两点．
（1）已知A、B两点的横坐标x₁和x₂恰为关于x的方程（k²+1）x²+bx+c=0的两个根，试求b、c的值；
（2）如果线段AB的长为2，求双曲线的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知双曲线的两条条渐近线方程为：y=±kx，与圆联立方程组，消y可得（k²+1）x²+4x-1=0，再根据A、B两点的横坐标x₁和x₂恰为关于x的方程（k²+1）x²+bx+c=0的两个根，即可求出b，c的值，
（2）由A（x₁，-kx₁），B（x₂，kx₂），根据两点间的距离公式和根与系数的关系可得k²=4，即可求出双曲线的方程．

解答 解：（1）由题意可知双曲线的两条条渐近线方程为：y=±kx，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=±kx}\\{（x+2）^{2}+{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，消y可得k²x²+（x+2）²=5，即为（k²+1）x²+4x-1=0，
又A、B两点的横坐标x₁和x₂恰为关于x的方程（k²+1）x²+bx+c=0的两个根，
∴b=4，c=-1，
（2）由A（x₁，-kx₁），B（x₂，kx₂），
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+{k}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}$=2，
∴（x₁-x₂）²+k²（x₁+x₂）²=4，
∴（1+k²）x₁²+（2k²-2）x₁x₂+（1+k²）x₂²=4，
即（1+k²）（x₁²+x₂²）+（2k²-2）x₁x₂=4
即（1+k²）（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4
由（1）可知x₁+x₂=$\frac{-4}{{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{-1}{{k}^{2}+1}$，
∴（1+k²）$\frac{16}{（{k}^{2}+1）^{2}}$+4×$\frac{1}{{k}^{2}+1}$=4，
即k²+1=5，
即k²=4，
∴双曲线方程为4x²-y²=1．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．