Question

12．已知抛物线Ω：x²=2py（p＞0），过点（0，2p）的直线与抛物线Ω交于A、B两点，AB的中点为M，若点M到直线y=2x的最小距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则p=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由题意可知，设过点（0，2p）的直线方程为y=kx+2p，且与抛物线的交点A（x₁，y₁），（x₂，y₂），根据根与系数的关系和中点坐标公式，以及点到直线的距离公式即可求出．

解答 解：由题意可知，设过点（0，2p）的直线方程为y=kx+2p，且与抛物线的交点A（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2p}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，消去y得x²-2pkx-4p²=0，
∴x₁+x₂=2pk，
∴$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=pk，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4p=2pk²+4p，
∴$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=pk²+2p，
∴A，B的中点坐标为（pk，pk²+2p），
∴点M到直线y=2x的距离为：$\frac{|2pk-p{k}^{2}-2p|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴即k=0时，点M到直线的距离最小，此时p=$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查了抛物线的性质，以韦达定理，考查了运算能力，属于中档题