Question

20．已知O为△ABC外心，AC⊥BC，AC=3，∠ABC=$\frac{π}{6}$，则$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{AB}$=-9．

Answer 1

分析 由题意可得O为直角△ABC斜边AB的中点，由AC=3，∠ABC=$\frac{π}{6}$，可得AB=6，求得向量OC，AB的夹角，由向量的数量积的定义计算即可得到所求值．

解答 解：O为△ABC外心，AC⊥BC，可得：O为直角△ABC斜边AB的中点，
由AC=3，∠ABC=$\frac{π}{6}$，
可得AB=$\frac{AC}{sin\frac{π}{6}}$=2AC=6，
由AC=OC=AO=3，可得∠AOC=60°，
即有＜$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{AB}$＞=120°，
则$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{OC}$|•|$\overrightarrow{AB}$|•cos120°
=3×6×（-$\frac{1}{2}$）=-9．
故答案为：-9．

点评 本题考查向量的数量积的定义，注意运用直角三角形的外心的性质，考查运算能力，属于基础题．