Question

已知函数f（x）=x3+x2+ax+b,g（x）=x3+x2+ 1nx+b，（a，b为常数）．

（1）若g（x）在x=l处的切线方程为y=kx－5（k为常数），求b的值；

（2）设函数f（x）的导函数为，若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；

（3）令F（x）=f（x）－g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+1n2，求a的取值范围．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：

解题思路：(1)求导，利用导数的几何意义得到解即可；（2）求导，根据条件列出关于的方程组，消去，化成关于的一元三次方程，构造函数，进行求导，利用三次方程有唯一解进行求的范围；（3）构造函数，进行求导，将函数有极值转化为导函数为0有两个不相等的实根进行求解.

规律总结：三次函数零点的个数的判定：首先利用导数求出三次函数的极值，设极小值为，极大值为；①若，则有三个不等的零点；②若或，则有两个不等的零点；③若或，则有一个零点.

试题解析：（1）∵ 所以直线的，当时，，将（1，6）代入，得.

（2） ，由题意知消去，

得有唯一解．

令，则，

所以在区间（-∞，-），区间（-，+∞）上是增函数，在上是减函数，

又，故实数的取值范围是.

（3）

因为存在极值，所以在上有根即方程在上有根.

记方程的两根为由韦达定理，所以方程的根必为两不等正根.

所以满足方程判别式大于零

故所求取值范围为.

考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的零点个数；3.利用导数研究函数的极值.