Question

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=c，sinA-sinB=（$\sqrt{3}$-1）sinC．
（1）求B的大小；
（2）若△ABC的面积为4$\sqrt{3}$，求a，b，c的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知可得a-b=（$\sqrt{3}-1$）c，结合b=c，可得a=$\sqrt{3}b$，由余弦定理可求cosB，结合范围B∈（0，π），即可得解B的值．
（2）利用已知及三角形面积公式可求c的值，结合（1）即可求得b，a的值．

解答 解：（1）∵sinA-sinB=（$\sqrt{3}$-1）sinC．
∴由正弦定理可得：a-b=（$\sqrt{3}-1$）c，
又∵b=c，可得a=$\sqrt{3}b$．
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{3{b}^{2}+{b}^{2}-{b}^{2}}{2\sqrt{3}{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{6}$
（2）∵△ABC的面积为4$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×\sqrt{3}{c}^{2}×\frac{1}{2}$=4$\sqrt{3}$，解得：c=4，
∴由（1）可得：b=4，a=4$\sqrt{3}$

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．