题目内容
已知数列{an}是等差数列，其中每一项及公差d均不为零，设
=0（i=1，2，3，…）是关于x的一组方程：（1）求所有这些方程的公共根；
（2）设这些方程的另一个根为mi，求证
，
，
，…，
，…也成等差数列．
【答案】分析：（1）设出公共根，代入方程，再写一个方程，两个方程相减，即可求得结论；
（2）设另一个根，利用韦达定理，根据等差数列的定义，可得结论．
解答：（1）解：公共根为p，则
①
②
②-①，得dp2+2dp+d=0，d≠0为公差，∴（p+1）2=0．
∴p=-1是公共根；
（2）证明：设另一个根为mi，则mi+（-1）=
．
∴mi+1=
，即
，
∴
=-
∴{
}是以-
为公差的等差数列．
点评：本题考查等差数列的判定，考查学生的计算能力，属于中档题．
（2）设另一个根，利用韦达定理，根据等差数列的定义，可得结论．
解答：（1）解：公共根为p，则
①②②-①，得dp2+2dp+d=0，d≠0为公差，∴（p+1）2=0．
∴p=-1是公共根；
（2）证明：设另一个根为mi，则mi+（-1）=
．∴mi+1=
，即，∴
=-∴{
}是以-为公差的等差数列．点评：本题考查等差数列的判定，考查学生的计算能力，属于中档题．
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