Question

10．如图，圆锥的轴截面PAB是等腰直角三角形，AB的中点为O，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，D为线段OC的中点，E为母线PA上一点，且AE=3EP．
（1）证明：ED∥平面PCB；
（2）设二面角A-OP-C的大小为θ，二面角A-PC-B的大小为φ，求证$\frac{1}{co{s}^{2}φ}$-$\frac{8}{si{n}^{2}θ}$为定值，并求出此定值．

Answer 1

分析 （1）连接AD，延长与BC交于F，则AD=3DF，证明ED∥PF，即可证明ED∥平面PCB；
（2）建立坐标系，求出平面的法向量，即可求出$\frac{1}{co{s}^{2}φ}$，从而证明$\frac{1}{co{s}^{2}φ}$-$\frac{8}{si{n}^{2}θ}$为定值．

解答 证明：（1）连接AD，延长与BC交于F，则AD=3DF，
∵AE=3EP，
∴ED∥PF，
∵ED?平面PCB，PF?平面PCB，
∴ED∥平面PCB；
（2）由题意，∠AOC=θ，建立坐标系，设OA=1，则P（0，0，1），A（0，-1，0），B（0，1，0），C（sinθ，-cosθ，0），
∴$\overrightarrow{PA}$=（0，-1，-1），$\overrightarrow{PB}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{PC}$=（sinθ，-cosθ，-1），
设平面PAC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），则$\left\{\begin{array}{l}{-b-c=0}\\{asinθ-bcosθ-c=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{m}$=（$\frac{cosθ-1}{sinθ}$，1，-1）
同理平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（$\frac{cosθ+1}{sinθ}$，1，1），
∴$\frac{1}{co{s}^{2}φ}$=$\frac{|\overrightarrow{m}{|}^{2}|\overrightarrow{n}{|}^{2}}{（\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}）^{2}}$=$\frac{（co{s}^{2}θ+1+2si{n}^{2}θ）^{2}-4co{s}^{2}θ}{si{n}^{4}θ}$
∴$\frac{1}{co{s}^{2}φ}$-$\frac{8}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{（co{s}^{2}θ+1+2si{n}^{2}θ）^{2}-4co{s}^{2}θ}{si{n}^{4}θ}$-$\frac{8}{si{n}^{2}θ}$=1

点评 本题考查线面平行，考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．