Question

若电灯B可在过桌面上一点O且垂直于桌面的垂线上移动，桌面上有与点O距离为a的另一点A，问电灯与点0的距离

 

，可使点A处有最大的照度？（∠BAO=φ，BA=r，照度与sinφ成正比，与r²成反比）

Answer 1

分析：根据题意列出照度函数关系式，建立三角函数模型，然后用均值不等式求最值即可．

解答：解：依题意可设照度y=k•

sinφ

r2

，则有cosφ=

a

r

，y=k

sinφcos2φ

a2

，
又sinφcos²φ=

sin2φ•cos4φ

=

4sin2φ• 1 2 cos2φ• 1 2 cos2φ

≤

4( sin2φ+ 1 2 cos2φ+ 1 2 cos2φ  3 )3

=

4( 1 3 )3

当且仅当sin²φ=

1

2

cos2φ即，tanφ=

2

2

时，y有最大值，此时BO=atanφ=

2

2

a，
故正确答案为

2

2

a．

点评：解答此题要注意审题，理解照度的含义，建立三角函数模型，考查均值不等式的应用．