Question

19．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线  y²=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-1，-1），则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{16}$-$\frac{y^2}{4}$=1
• B． $\frac{x^2}{4}$-y²=1
• C． $\frac{x^2}{9}$-$\frac{y^2}{9}$=1
• D． $\frac{x^2}{3}$-$\frac{y^2}{3}$=1

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标和准线方程，根据双曲线渐近线的关系建立方程求出a，b的值，即可得到结论．

解答 解：抛物线  y²=2px（p＞0）的焦点坐标为（$\frac{p}{2}$，0），准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
∵双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-1，-1），
∴-$\frac{p}{2}$=-1，即p=2，y=$\frac{b}{a}$x过（-1，-1），
即-1=-$\frac{b}{a}$，则$\frac{b}{a}$=1，即b=a，
双曲线的左顶点为（-a，0），抛物线的焦点坐标为（1，0），
∵双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线  y²=2px（p＞0）的焦点的距离为4，
∴1-（-a）=1+a=4，
则a=3，b=3，
即双曲线的方程为$\frac{x^2}{9}$-$\frac{y^2}{9}$=1，
故选：C．

点评 本题主要考查双曲线方程的求解，根据双曲线和抛物线的方程和性质建立方程关系是解决本题的关键．考查学生的推理能力．