Question

3．已知函数f（x）=x²+4xsinα+$\frac{2}{7}$tanα（0＜α＜$\frac{π}{4}$）有且仅有一个零点．
（Ⅰ）求sin2α的值；
（Ⅱ）若cos2β+2sin²β=$\frac{3}{14}$+sinβ，β∈（$\frac{π}{2}$，π），求β-2α的值．

Answer 1

分析 （1）二次函数根的零点及三角函数求值；（2）用二倍角公式、同角三角函数关系和两角差的余弦公式．

解答 解：（1）由题知，$△=（4sinα）^{2}-\frac{8}{7}tanα=0$
即$16si{n}^{2}α-\frac{8sinα}{7cosα}=0$∵$0＜α＜\frac{π}{4}∴sinα≠0$
∴14sinαcosα=1∴$sin2α=\frac{1}{7}$；
（2）由题知$cos2β+1-cos2β=\frac{3}{14}+sinβ$，即$sinβ=\frac{11}{14}$，∵$β∈（\frac{π}{2}，π）$
∴$cosβ=-\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∵$α∈（0，\frac{π}{4}）∴2α∈（0，\frac{π}{2}）$∴$cos2α=\frac{4\sqrt{3}}{7}$
∵β-2α∈（0，π）
∴cos（β-2α）=cosβcos2α+sinβsin2α=$\frac{4\sqrt{3}}{7}•\frac{-5\sqrt{3}}{14}+\frac{1}{7}•\frac{11}{14}=-\frac{1}{2}$
∴$β-2α=\frac{2π}{3}$

点评 本题考查了三角公式的灵活运用，判断角的范围、正确选择三角函数名称是本题的关键．