Question

18．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx．
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值、最小值；
（2）当x∈[1，+∞），比较f（x）与g（x）=$\frac{2}{3}$x³的大小．

Answer 1

分析 （1）依题意，可得f′（x）=x+$\frac{1}{x}$＞0，故函数f（x）在[1，e]上单调递增，从而可求函数f（x）在[1，e]上的最大值、最小值；
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx-$\frac{2}{3}$x³，利用导数法可得F（x）在区间（1，+∞）是减函数，从而可比较f（x）与g（x）=$\frac{2}{3}$x³的大小．

解答 解：（1）∵x＞0，∴f′（x）=x+$\frac{1}{x}$＞0，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx在（0，+∞） 上是增函数，∴函数f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（x）_max=f（e）=$\frac{1}{2}$e²+1，f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$．（5分）
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx-$\frac{2}{3}$x³，
F′（x）=x+$\frac{1}{x}$-2x²=$\frac{{x}^{2}+1-{2x}^{3}}{x}$=$\frac{（1-x）（{2x}^{2}+x+1）}{x}$，
当0＜x＜1时，F′（x）＞0；当x＞1，F′（x）＜0；
∴F（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）是减函数；
F（x）极大值为F（x）的最大值，F（x）_max=F（1）=$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{3}$＜0；
∴当x∈[1，+∞）时，F（x）＜0，即f（x）＜g（x）．（12分）

点评 本题考查利用导数研究闭区间上函数的最值，考查函数思想与运算求解能力，属于中档题．