Question

18．已知椭圆E的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，若椭圆右焦点到直线x-y+2$\sqrt{2}$=0的距离为3
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（k≠0）与该椭圆交于不同的两点B，C，若坐标原点O到直线l的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求△BOC面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1．右焦点F（c，0）．则$\frac{|c+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=3，解得c．可得a²=1+c²．
（II）由坐标原点O到直线l的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：4m²=3k²+3．设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．直线方程与椭圆方程联立化为：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．可得|BC|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，利用S_△BOC=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$×|BC|，及其基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（I）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1．右焦点F（c，0）．
则$\frac{|c+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=3，解得c=$\sqrt{2}$．
∴a²=${1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}$=3．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．
（II）由坐标原点O到直线l的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，化为：4m²=3k²+3．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，化为：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．
△＞0，∴x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
∴|BC|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[\frac{36{k}^{2}{m}^{2}}{（1+3{k}^{2}）^{2}}-\frac{4（3{m}^{2}-3）}{1+3{k}^{2}}]}$
=$\frac{2\sqrt{3（1+{k}^{2}）（1+3{k}^{2}-{m}^{2}）}}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3（1+{k}^{2}）（1+9{k}^{2}）}}{1+3{k}^{2}}$，
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$×|BC|=$\frac{\sqrt{3}}{4}×$$\frac{\sqrt{3（1+{k}^{2}）（1+9{k}^{2}）}}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{3}{4}$×$\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）（1+9{k}^{2}）}{（1+3{k}^{2}）^{2}}}$
=$\frac{3}{4}$$\sqrt{1+\frac{4}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}}$≤$\frac{3}{4}×\sqrt{1+\frac{4}{2\sqrt{9}+6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当且仅当k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$时取等号．
∴△BOC面积的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．