Question

3．已知a＞b＞1，若log_ab+log_ba=$\frac{5}{2}$，a^b=b^a，则a=4，b=2．

Answer 1

分析 设t=log_ba并由条件求出t的范围，代入log_ab+log_ba=$\frac{5}{2}$化简后求出t的值，得到a与b的关系式代入a^b=b^a化简后列出方程，求出a、b的值．

解答 解：设t=log_ba，由a＞b＞1知t＞1，
代入log_ab+log_ba=$\frac{5}{2}$得$t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}$，
即2t²-5t+2=0，解得t=2或t=$\frac{1}{2}$（舍去），
所以log_ba=2，即a=b²，
因为a^b=b^a，所以b^2b=b^a，则a=2b=b²，
解得b=2，a=4，
故答案为：4；2．

点评 本题考查对数的运算性质，以及换元法在解方程中的应用，属于基础题．