Question

17．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，AC⊥BC，BC=C₁C=AC=2，D是A₁C₁上的一点，E是A₁B₁的中点，C₁D=kA₁C₁．
（Ⅰ） 当k为何值时，B，C，D，E四点共面；
（Ⅱ） 在（Ⅰ）的条件下，求四棱锥A-BCDE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知，k=$\frac{1}{2}$时，B，C，D，E四点共面．然后利用三角形中位线定理可知DE∥B₁C₁，再由B₁C₁∥BC，得DE∥BC，由此说明B，C，D，E四点共面；
（Ⅱ）在三棱锥A-BCD中，利用等积法求出点A到平面BCDE的距离h，然后代入四棱锥的体积公式求得答案．

解答 解：（Ⅰ）当k=$\frac{1}{2}$时，B，C，D，E四点共面．
事实上，若k=$\frac{1}{2}$，则D是A₁C₁的中点，
又E是A₁B₁的中点，∴DE∥B₁C₁，
又B₁C₁∥BC，∴DE∥BC，则B，C，D，E四点共面；
（Ⅱ） 在（Ⅰ）的条件下，即D为A₁C₁的中点，
又A₁A⊥平面ABC，A₁ACC₁是矩形，
此时，$CD=\sqrt{{C_1}{C^2}+{C_1}{D^2}}=\sqrt{{2^2}+{1^2}}=\sqrt{5}$，
又A₁A⊥平面ABC，∴BC⊥A₁A，又BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACD，由V_A-BCD=V_B-ACD，
设点A到平面BCDE的距离h，则$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}BC•CD•h=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}BC•AC•{A_1}A$，
∴$h=\frac{AC•{A_1}A}{CD}=\frac{2•2}{{\sqrt{5}}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，
则${V_{A-BCDE}}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•（{BC+DE}）•CD•h$=$\frac{1}{6}•（{2+1}）\sqrt{5}•\frac{{4\sqrt{5}}}{5}=2$．

点评 本题考查线面平行的判断，考查了棱锥体积的求法，训练了等积法，是中档题．