Question

（本小题满分15分）已知椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点相同，在椭圆上，过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为.

（1）求椭圆方程；

（2）求的取值范围.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据题意可知，椭圆的一个焦点坐标为，即有，再由在椭圆上可知，从而椭圆方程为；（2）由题意，可设直线的方程为：，联立椭圆方程消去以后可得，设，，则有，，从而可将直线的解析式用含，的代数式表示出来：直线：，即可得，同理可得，从而，进一步可得：

，即有，在下易得.

试题解析：（1）∵椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点相同，

∴，又∵在椭圆上可知，，从而椭圆方程为；（2）点，设直线的方程为：，代入椭圆方程整理可得：

，设，，则有，（8分）直线：，故，同理可得，

∴，（10分）

（13分）

∴，又∵，∴.（15分）

考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.