题目内容
8．已知数列{an}的通项为an=log（n+1）（n+2）（n∈N*），我们把使乘积a1•a2•a3…an为整数的n叫做“优数”，则在（1，2012]内的所有“优数”的和为2026．分析 在区间（1，2012]中找出所有的“优数”之后用数列的求和公式进行计算．
解答 解：∵an=logn+1（n+2）
∴a1•a2…an=log23•log34…logn+1（n+2）
=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$•$\frac{lg5}{lg4}$ …$\frac{lg（n+2）}{lg（n+1）}$=$\frac{lg（n+2）}{lg2}$=log2（n+2）
若使log2（n+2）为整数，则n+2=2k
在（1，2012]内的所有整数分别为：22-2，23-2，…，210-2
∴所求的数的和为22-2+23-2+…+210-2=$\frac{4（1{-2}^{9}）}{1-2}$-18=2026．
故答案为：2026．
点评 本题考查了对数的运算性质，考查了数列和的求法，把a1•a2…an化简转化为对数的运算是解答的关键，体现了转化的思想，属中档题．
练习册系列答案
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