Question

16．利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．

Answer 1

分析 方法1（定义法）：根据导数的极限定理，结合函数奇偶性的定义进行证明即可；方法2：公式法，利用函数奇偶性的定义与复合函数的导数公式证明．

解答 证明：方法1（定义法）：设f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），
∵f′（x）=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（x+△x）-f（x）}{△x}$，
∴f′（-x）=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（-x+△x）-f（-x）}{△x}$=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{-f（x-△x）+f（x）}{△x}$=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（x-△x）-f（x）}{-△x}$=f′（x），
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．

点评 本题主要考查导数的证明和判断，利用导数的定义结合函数奇偶性的性质是解决本题的关键．