Question

2．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）

	几何题	代数题	合计
男	25	5	30
女	10	10	20
合计	35	15	50

下面的临界值表供参考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$其中n=a+b+c+d）
（1）能否在犯错的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）现从选择做几何题的10名女生中任意抽取3人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙、丙三位女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．

Answer 1

分析 （1）利用公式K²，求出，与临界值比较，即可得出结论；
（2）X可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望E（X）．

解答 解：（1）K²=$\frac{50×（25×10-10×5）^{2}}{30×20×35×15}$=$\frac{400}{63}$＞5.024，故在犯错的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别是有关的；…（4分）
（2）X可取的值为0，1，2，3
P（X=0）=$\frac{{C}_{7}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{24}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{7}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{21}{40}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{7}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{40}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$．

X	0	1	2	3
P	$\frac{7}{24}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{120}$

$E（X）=0×\frac{7}{24}+1×\frac{21}{40}+2×\frac{7}{40}+3×\frac{1}{120}=\frac{9}{10}$…（12分）

点评 本题考查独立性检验知识的运用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．