Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-2，x），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ）求（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）的值；
（Ⅱ）若m$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$（m为实数）与$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$平行，求|2m$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的值．

Answer 1

分析 根据平面向量的坐标表示与运算法则，列出方程求出x的值，再计算（Ⅰ）、（Ⅱ）中所求的值即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，即a•b=0，
∴1×（-2）+2x=0，解得x=1，
∴$\overrightarrow{b}$=（-2，1）；  …（2分）
（Ⅰ）（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=4${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-3${\overrightarrow{b}}^{2}$
=4${\overrightarrow{a}}^{2}$-3${\overrightarrow{b}}^{2}$
=4（1²+2²）-3[（-2）²+1²]
=5；…（7分）
（Ⅱ）m$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=m（1，2）+（-2，1）=（m-2，2m+1），
$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$=（1，2）-2（-2，1）=（5，0），
由m$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$平行，得（m-2）×0-（2m+1）×5=0，
解得m=-$\frac{1}{2}$； …（10分）
所以|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|-$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（-1-2）}^{2}{+（-2+1）}^{2}}$=$\sqrt{10}$．…（12分）

点评 本题考查了平面向量的坐标表示与运算法则问题，也考查了向量的垂直与共线以及求模长问题，是基础题目．