Question

14．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x^2}\\{{2^x}}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{\;}&{（0≤x＜a）}\\{\;}&{（x＞a）}\end{array}$，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）-b有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，2）
• B． （2，+∞）
• C． （2，4）
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围．

解答 解：∵g（x）=f（x）-b有两个零点
∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，
由于y=x²在[0，a）递增，y=2^x在[a，+∞）递增，
要使函数f（x）在[0，+∞）不单调，
即有a²＞2^a，由g（a）=a²-2^a，g（2）=g（4）=0，
可得2＜a＜4．即a∈（2，4），
故选C．

点评 本题考查函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合的数学思想，属于中档题．