Question

15．已知点A（-2，0），B（0，2）与圆 C₁：x²+y²-2x=0，
（1）若点D是圆C₁上的动点，求△ABD面积的最小值．
（2）圆C与圆 C₁相外切并且与直线 l：x+$\sqrt{3}$y=0相切于点P（3，-$\sqrt{3}$），求圆C的圆心坐标．

Answer 1

分析 （1）数形结合可知当D为过圆心C₁且与直线AB垂直的射线C₁H与圆C₁的交点时，点D到直线AB的距离DH最小，从而△ABD的面积最小．
（2）C（a，b）在过点P且与l垂直的直线上，$\frac{b+\sqrt{3}}{a-3}$=$\sqrt{3}$；圆C与l相切于点P，r=$\frac{|a+\sqrt{3}b|}{2}$，圆C与圆C₁相外切，$\sqrt{（a-1）^{2}+{b}^{2}}$=r+1，由此求圆C的圆心坐标．

解答 解：（1）直线AB方程为 x-y+2=0，圆C₁圆心为C₁（1，0），半径r=1．…（2分）
数形结合可知当D为过圆心C₁且与直线AB垂直的射线C₁H与圆C₁的交点时，
点D到直线AB的距离DH最小，从而△ABD的面积最小．
因为C₁H=$\frac{|1-0+2|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，所以DH=C₁H-1=$\frac{3}{\sqrt{2}}$-1，…（4分）
所以△ABD面积的最小值=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×$（$\frac{3}{\sqrt{2}}$-1）=3-$\sqrt{2}$；          …（5分）
（2）设所求圆的圆心为C（a，b），半径长为r，
则圆C的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
∵C（a，b）在过点P且与l垂直的直线上，∴$\frac{b+\sqrt{3}}{a-3}$=$\sqrt{3}$．①…（6分）
又∵圆C与l相切于点P，∴r=$\frac{|a+\sqrt{3}b|}{2}$．②…（7分）
∵圆C与圆C₁相外切，∴$\sqrt{（a-1）^{2}+{b}^{2}}$=r+1    ③…（8分）
由①得$\sqrt{3}$a-b-4$\sqrt{3}$=0，从而$\sqrt{4{a}^{2}-26a+49}$=|2a-6|+1，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=-4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
所以圆C的圆心坐标为（4，0）或 （0，-4$\sqrt{3}$）．…（12分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．