Question

5．函数$f（x）=lnx+\frac{1}{2}{x^2}-（{b-1}）x$
（Ⅰ）若b=2，求函数f（x）在点$P（{1，-\frac{1}{2}}）$处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）b=2，求出导函数$f'（x）=\frac{1}{x}+x-1=\frac{{{x^2}-x+1}}{x}$，利用$P（{1，-\frac{1}{2}}）$在f（x）的图象上，又f'（1）=1，然后求解切线方程．
（Ⅱ）求出f（x）的定义域（0，+∞），导函数$f'（x）=\frac{1}{x}+x-（b-1）=\frac{{{x^2}-（b-1）x+1}}{x}$，由题知f'（x）＜0在（0，+∞）上有解，
方法一：即为x²-bx+x+1＜0在（0，+∞）上有解，即$b＞x+\frac{1}{x}+1$在（0，+∞）上有解，利用基本不等式转化求解即可．
方法二：$u（x）={x^2}-（b-1）x+1={[{x-\frac{b-1}{2}}]^2}+1-\frac{{{{（{b-1}）}^2}}}{4}$，利用二次函数的性质，转化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）若b=2，$f（x）=lnx+\frac{1}{2}{x^2}-x$，$f'（x）=\frac{1}{x}+x-1=\frac{{{x^2}-x+1}}{x}$，…（2分）
$P（{1，-\frac{1}{2}}）$在f（x）的图象上，又f'（1）=1，…（3分）
故函数f（x）在点$P（{1，-\frac{1}{2}}）$处的切线为$y+\frac{1}{2}=x-1$，即$x-y-\frac{3}{2}=0$．…（5分）
（Ⅱ）f（x）的定义域（0，+∞），$f'（x）=\frac{1}{x}+x-（b-1）=\frac{{{x^2}-（b-1）x+1}}{x}$．…（6分）
由题知f'（x）＜0在（0，+∞）上有解．…（7分）
方法一：即为x²-bx+x+1＜0在（0，+∞）上有解，即$b＞x+\frac{1}{x}+1$在（0，+∞）上有解．…（8分）
设$h（x）=x+\frac{1}{x}+1（{x＞0}）$，则h（x）≥2+1=3（当且仅当x=1时等号成立），∴b＞3．
…（10分）
方法二：$u（x）={x^2}-（b-1）x+1={[{x-\frac{b-1}{2}}]^2}+1-\frac{{{{（{b-1}）}^2}}}{4}$，对称轴$x=\frac{b-1}{2}$…（7分）
当$\frac{b-1}{2}≤0$即b≤1时，u（x）在（0，+∞）上递增，则恒有u（x）＞u（0）=1＞0，不成立；…（8分）
当$\frac{b-1}{2}＞0$即b＞1时，△=（b-1）²-4＞0，解得b＞3；…（9分）
综上：b的取值范围为b＞3．…（10分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，切线方程的求法，单调区间的应用，涉及基本不等式以及二次函数的性质，考查转化思想以及计算能力．