Question

如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、F分别是线段PA、CD的中点．

（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求EF和平面ABCD所成的角α的正切；

（Ⅲ）求异面直线EF与BD所成的角β的余弦．

 

 

Answer 1

（1）由已知PA⊥AD，AB⊥AD，所以为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角．

由已知平面PAD⊥平面ABCD得，PA⊥AB，又AB平面ABCD，AD平面ABCD，且AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD；（2）所求的角α的正切值为；（3）异面直线EF与BD所成角β的余弦值为．

【解析】

试题分析：（1）根据两个平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD；（2）连接AF，则即为α，在直角三角形EAF中，根据计算求得结果即可；（3））欲求异面直线EF与BD所成的角β的大小，只需平移两条异面直线中的一条，使它们成为相交直线，则相交直线所成的锐角或直角，就是异面直线所成角，再放入三角形中，通过解三角形，求出此角．

试题解析：（1）由已知PA⊥AD，AB⊥AD，所以为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角．

由已知平面PAD⊥平面ABCD得，PA⊥AB，又AB平面ABCD，AD平面ABCD，且AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD．

（2）连接AF，因为PA⊥平面ABCD，则AF是EF在平面ABCD上的射影，即=α．设PA=AD=a，FD=，则．在中，，所以所求的角的正切值为．

（3）取BC的中点M，连接EM、FM，则FM∥BD，∴∠EFM（或其补角）就是异面直线EF与BD所成的角．

可求得，同理，，又，

∴在△MFE中，，

故异面直线EF与BD所成角β的余弦值为．

考点：异面直线及其所成的角；直线与平面平行、垂直的判定；直线与平面所成的角．