Question

已知抛掷一枚质地不均匀的硬币抛掷三次，三次正面均朝上的概率为

1

27

．
（Ⅰ）求抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率；
（Ⅱ）抛掷这样的硬币三次后，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，记四次抛掷后正面朝上的总次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）由硬币抛掷三次，三次正面均朝上的概率为

1

27

，设出掷一次这样的硬币，正面朝上的概率为r，由独立重复试验公式列出方程，解方程得到r的值．再由独立重复试验公式得到结果．
（2）抛掷一枚质地均匀的硬币四次抛掷后正面朝上的总次数为ξ，由题意知ξ的可能取值是0、1、2、3、4，根据独立重复试验公式得到结果，写出分布列，算出期望．

解答：（Ⅰ）解：设掷一次这样的硬币，正面朝上的概率为r，
则依题意有：

C

3 3

•r3=

1

27

．
可得r=

1

3

．
∴抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率为
P=

C

2 3

×(

1

3

)2×

2

3

=

2

9

．
（Ⅱ）解：随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4．
P(ξ=0)=

C

0 3

×(

2

3

)3×

1

2

=

4

27

；
P(ξ=1)=

C

0 3

×(

2

3

)3×

1

2

+

C

1 3

×

1

3

×(

2

3

)2×

1

2

=

10

27

；
P(ξ=2)=

C

1 3

×

1

3

×(

2

3

)2×

1

2

+

C

2 3

×(

1

3

)2×

2

3

×

1

2

=

9

27

；
P(ξ=3)=

C

2 3

×(

1

3

)2×

2

3

×

1

2

+

C

3 3

×(

1

3

)3×

1

2

=

7

54

；
P(ξ=4)=

C

3 3

×(

1

3

)3×

1

2

=

1

54

．
∴随机变量ξ的分布列为

∴Eξ=0×

4

27

+1×

10

27

+2×

9

27

+3×

7

54

+4×

1

54

=

3

2

．

点评：这是近几年高考常考的题目，期望是概率和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫．