Question

（本小题满分14分）设函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）已知,（）是函数在的图象上的任意两点，且满足，求a的最大值；

（3）设，若对于任意给定的，方程在内有两个不同的实数根，求a的取值范围．（其中是自然对数的底数）

 

Answer 1

（1）函数的单调递增区间是；递减区间是；（2）3

（3）.

【解析】

试题分析：（1）函数在某个区间内可导，则若，则在这个区间内单调递增，若，则在这个区间内单调递减；（2）利用导数方法证明不等式在区间上恒成立的基本方法是构造函数，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数，其中一个重要的技巧就是找到函数在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式；（3））对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1），（2），（4）解决含有参数的单调性的问题，要注意分类讨论和数形结合的思想.

试题解析：（1）， 1分

由，得，该方程的判别式△＝，

可知方程有两个实数根，又，故取，

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．

则函数的单调递增区间是；递减区间是． 3分

（2）不妨设，不等式转化为，

令，可知函数在区间上单调递减，故恒成立，

故恒成立，即恒成立． 5分

当时，函数单调递增，故当时，函数取得最小值3，则实数的取值范围是，则实数的最大值为3． 7分

（3），当时，，是增函数；当时，，是减函数．可得函数在区间的值域为． 9分

令，则，

由，结合（1）可知，方程在上有一个实数根，若，则在上单调递增，不合题意，可知在有唯一的解，且在上单调递增；在上单调递减． 10分

因为，方程在内有两个不同的实数根，所以，且． 11分

由，即，解得．

由，即，，

因为，所以，代入，得，

令，可知函数在上单调递增，而，则，

所以，而在时单调递增，可得，

综上所述，实数的取值范围是 14分.

考点：1、利用导数求函数的单调区间；2、利用导数求函数的最值；3、方程根的个数.