Question

6．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长a=2，P为该正方体的内切球的表面上的动点，且始终有AP⊥A₁C，则动点P的轨迹的长度为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}π}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}π}}{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{3}π}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{6}π}}{3}$

Answer 1

分析 注意到P为该正方体的内切球的表面上的动点，且始终有AP⊥A₁C，点P在过点A且于A₁C垂直的平面与球的交线上，求出截面圆的半径，从而求周长．

解答 解：∵P为该正方体的内切球的表面上的动点，且始终有AP⊥A₁C，
∴点P在过点A且于A₁C垂直的平面与球的交线上，
设截面圆的圆心为O′，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长a=2，
∴A₁C=$\sqrt{3}$a，
由射影定理可得4=A₁O′•2$\sqrt{3}$，
∴A₁O′=$\frac{2}{\sqrt{3}}$
又∵内切球的半径为1，A₁O=$\sqrt{3}$，
∴O′P=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}$，
∴点P的轨迹的周长为2π•$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}π}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查了学生的空间想象力，考查学生的计算能力，确定截面的形状是关键，属于中档题．