Question

13．某学校为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（折算成了百分制），规定成绩在85分以上（含85分）为优秀．列联表如下：

	数学成绩优秀（人）	数学成绩不优秀（人）	合计
物理成绩优秀（人）	a=5	b=2	a+b=7
物理成绩不优秀（人）	c=1	d=12	c+d=13
合计	a+c=6	b+d=14	n=a+b+c+d=20

（1）将列联表补充完整；
（2）若在这20名学生中任意选择一人参加比赛，求其物理和数学成绩都优秀的概率；
（3）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为物理成绩与数学成绩有关系？（参考公式及参考数据见卷首）

Answer 1

分析 （1）由题意可知，即可求得a和d的值，即可求得a+c及b+d的值；
（2）由物理和数学成绩都优秀人数5人，则物理和数学成绩都优秀的概率；
（3）由观测值的计算公式算出随机变量K²的值，对照临界值表即可得到正确答案．

解答 解：（1）由b=2，a+b=7，则a=5，c=1，c+d=13，则d=12，
a+c=6，b+d=14，a+b+c+d=20，
∴2×2列联表：

	数学成绩优秀（人）	数学成绩不优秀（人）	合计
物理成绩优秀（人）	a=5	b=2	a+b=7
物理成绩不优秀（人）	c=1	d=12	c+d=13
合计	a+c=6	b+d=14	n=a+b+c+d=20

（2）由物理和数学成绩都优秀人数5人，则物理和数学成绩都优秀的概率P=$\frac{5}{20}$=$\frac{1}{4}$；
（3）由K²的观测值k=$\frac{20×（5×12-2×1）^{2}}{7×13×6×14}$≈8.802＞6.635．
当H₀成立时，P（K²＞7.879）=0.005．
所以我们有99%的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之间有关系，
∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为物理成绩与数学成绩有关系．

点评 本题主要考查独立性检验的基本思想、方法及其简单应用和概率等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识，属于中档题．