Question

7．已知p：“?k∈R，直线y=kx+1与椭圆x²+$\frac{y^2}{a}$=1有两个不同的公共点”；q：“?x₀∈R，不等式4^x₀-2^x₀-a≤0成立”；若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的a的范围，根据p，q一真一假求出a的范围即可．

解答 解：若p为真，
则直线y=kx+1过的定点（0，1）必在椭圆内部，
即$0＜\frac{1}{a}＜1⇒a＞1$…（3分）
若q为真，则${（{4^{x_0}}-{2^{x_0}}）_{min}}≤a$有两个相异的实数根，
即${4^{x_0}}-{2^{x_0}}={（{2^{x_0}}-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{4}≥-\frac{1}{4}$；∴$a≥-\frac{1}{4}$
由p且q为假，p或q为真得：$\left\{{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＜-\frac{1}{4}}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{a≤1}\\{a≥-\frac{1}{4}}\end{array}}\right.$…（10分）
∴实数a的取值范围是$-\frac{1}{4}≤a≤1$．…（12分）

点评 本题考查了复合命题的判断，考查直线和椭圆的关系以及不等式问题，是一道中档题．