Question

6．中石化集团通过与安哥拉国家石油公司合作，获得了安哥拉深海油田区块的开采权，集团在某些区块随机初步勘探了部分口井，取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井．以节约勘探费用．勘探初期数据资料见如表：

井号I	1	2	3	4	5	6
坐标（x，y）（km）	（2，30）	（4，30）	（5，60）	（6，50）	（8，70）	（1，y）
钻井深度（km）	2	4	5	6	8	10
出油量（L）	40	70	110	90	160	205

（I）1～6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y=6.5x+a，求a，并估计y的预报值；
（II）现准备勘探新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的$\stackrel{∧}{b}$，$\stackrel{∧}{a}$的值与（I）中b，a的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6（1，y），否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？
（$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$，$\sum_{i=1}^{4}$x_2i-1²=94，$\sum_{i=1}^{4}$x_2i-1y_2i-1=945）
（III）设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探并称为优质井，那么在原有的出油量不低于50L的井中任意勘察3口井，求恰有2口是优质井的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（2+4+5+6+8）=5，$\overline{y}$=50，求出回归直线方程，由此能求出当x=1时，y的预报值．
（Ⅱ）先分别求出$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=46.25，可得回归系数，由此能求出使用位置接近的已有旧井．
（Ⅲ）由题意知3，5，6这3口井是优质井，2，4为非优质井，任意勘察3口井，有${C}_{5}^{3}$=10种情况，恰有2口是优质井，有${C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}$=6种情况，即可求出概率．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（2+4+5+6+8）=5，$\overline{y}$=50，∴$\stackrel{∧}{a}$=50-6.5×5=17.5，
∴回归直线方程为$\stackrel{∧}{y}$=6.5x+17.5，
当x=1时，$\stackrel{∧}{y}$=6.5+17.5=24，即$\stackrel{∧}{y}$的预报值为24．
（Ⅱ）∵$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=46.25，$\sum_{i=1}^{4}$x_2i-1²=94，$\sum_{i=1}^{4}$x_2i-1y_2i-1=945，
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{945-4×4×46.25}{94-4×{4}^{2}}$≈6.83，
$\stackrel{∧}{a}$=46.25-6.83×4=18.93，
b=6.5，a=17.5，
∴$\frac{\stackrel{∧}{b}-b}{b}$≈5%，$\frac{\stackrel{∧}{a}-a}{a}$≈8%，均不超过10%，
∴使用位置接近的已有旧井6（1，24）．
（Ⅲ）由题意知3，5，6这3口井是优质井，2，4为非优质井，任意勘察3口井，有${C}_{5}^{3}$=10种情况，恰有2口是优质井，有${C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}$=6种情况，故概率为$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查回归直线方程的应用，考查概率的计算，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．