Question

9．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-a，x≤1}\\{lo{g}_{a}x，x＞1}\end{array}\right.$（a＞0，且a≠1）．
①若a=$\frac{3}{2}$，则函数f（x）的值域为（-$\frac{3}{2}$，+∞）；
②若f（x）在R上是增函数，则a的取值范围是[2，+∞）．

Answer 1

分析 （1）根据指数函数和对数函数的性质，分别求其值域，再求并集即可，
（2）由题意可得a的不等式组，解不等式组可得．

解答 解：（1）当a=$\frac{3}{2}$时，若x≤1，则f（x）=2^x-$\frac{3}{2}$，则其值域为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
若x＞1，f（x）=log${\;}_{\frac{3}{2}}$x，则其值域为（0，+∞），
综上所述函数f（x）的值域为（-$\frac{3}{2}$，+∞），
（2）∵f（x）在R上是增函数，
∴a＞1，
此时f（x）=2^x-a的最大值为2-a，f（x）=log_ax＞0，
∴2-a≤0，
解得a≥2，
故a的取值范围为[2，+∞），
故答案为：（1）：（-$\frac{3}{2}$，+∞），（2）：[2，+∞）

点评 本题考查分段函数的单调性，由题意得出a的不等式组是解决问题的关键，属基础题．