Question

7．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N*），若b_n+1=（n-λ）（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）（n∈N*），b₁=-λ．且数列{b_n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为（　　）

• A． λ＞2
• B． λ＜2
• C． λ＞3
• D． λ＜3

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N*），取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，变形为$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=$2（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，利用等比数列的通项公式可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$+1，代入b_n+1=（n-λ）（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1），再利用数列的单调性即可得出．

解答 解：数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N*），取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，变形为$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=$2（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}+1\}$是等比数列，首项为2，公比为2．∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2ⁿ，∴b_n+1=（n-λ）（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）=（n-λ）•2ⁿ，
∵b₁=-λ，且数列{b_n}是单调递增数列，∴b_n+1＞b_n，
∴（n-λ）•2ⁿ＞（n-1-λ）•2^n-1，化为：λ＜n+1．由于数列{n+1}是单调递增数列，∴λ＜2．
实数λ的取值范围为（-∞，2）．
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的定义通项公式、数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．