Question

2．已知函数$f（x）=Asin（ωx+\frac{π}{6}）（A＞0，ω＞0）$）图象的一部分如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设$α，β∈[\frac{π}{2}，π]，f（3α-\frac{π}{2}）=\frac{10}{13}，f（3β+π）=-\frac{6}{5}$，求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinα=$\frac{5}{13}$，$cosβ=-\frac{3}{5}$，$cosα=-\frac{12}{13}，sinβ=\frac{4}{5}$，再利用两角和差的余弦公式求得cos（α-β）的值．

解答 解：（1）由图象可知A=2，∵$\frac{3}{4}T=\frac{11π}{2}-π=\frac{9π}{2}∴T=6π=\frac{2π}{ω}∴ω=\frac{1}{3}$，∴$f（x）=2sin（\frac{1}{3}x+\frac{π}{6}）$．
（2）∵$f（3α-\frac{π}{2}）=2sinα=\frac{10}{13}∴sinα=\frac{5}{13}$．
又$f（3β+π）=2sin（β+\frac{π}{2}）=2cosβ=-\frac{6}{5}$，∴$cosβ=-\frac{3}{5}$，∵$α，β∈[\frac{π}{2}，π]$，∴$cosα=-\frac{12}{13}，sinβ=\frac{4}{5}$，
∴$cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=\frac{56}{65}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．还考查了同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式，属于中档题．