Question

16．某城市在进行规划时，准备设计一个圆形的开放式公园，为达到社会和经济效益双丰收，园林公司进行如下设计，安排圆内接四边形ABCD作为绿化区域，其余作为市民活动区域，其中△ABD区域种植花木后出售，△BCD区域种植草皮后出售，已知草皮每平方米售价为a元，花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍，若BC=6km，AD=CD=4km．
（1）若BD=2$\sqrt{7}$km，求绿化区域的面积；
（2）设∠BCD=θ，当θ取何值时，园林公司的总销售金额最大．

Answer 1

分析 （1）若BD=2$\sqrt{7}$km，可得C，进而求出AB，即可求绿化区域的面积；
（2）设∠BCD=θ，求出园林公司的总销售金额，利用导数可得结论．

解答 解：（1）△BCD中，cosC=$\frac{36+16-28}{2×6×4}$=$\frac{1}{2}$，∴C=60°，
∴A=120°，
∴28=AB²+16-2AB•4•（-$\frac{1}{2}$），
∴AB=2，
∴绿化区域的面积S=$\frac{1}{2}×6×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=8$\sqrt{3}$；
（2）设AB=x，则x²+16-2x•4•cos（180°-θ）=36+16-2×6×4×cosθ，
∴（x-6+8cosθ）（x+6）=0，
∴x=6-8cosθ（cosθ＜$\frac{3}{4}$），
∴园林公司的总销售金额y=a•$\frac{1}{2}•6•4$sinθ+3a•$\frac{1}{2}$（6-8cosθ）•4sin（180°-θ）=48a（sinθ-sinθcosθ）．
∴y′=-48a（cosθ-1）（2cosθ+1）
∵cosθ＜$\frac{3}{4}$，∴cosθ=-$\frac{1}{2}$，θ=120°时，函数取得最大值36$\sqrt{3}$a．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．