Question

4．已知函数f（x）=lnx-x²+x-m
（Ⅰ）求函数f（x）的极值
（Ⅱ）若函数f（x）＜2x-x²-（x-2）e^x在x∈（0，3）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极大值即可；
（Ⅱ）问题转化为m＞（x-2）e^x+lnx-x在x∈（0，3）恒成立，设h（x）=（x-2）e^x+lnx-x，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），
由题意得：f′（x）=-$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴f（x）_极大值=f（1）=-m，没有极小值；
（Ⅱ）∵f（x）＜2x-x²-（x-2）e^x在x∈（0，3）上恒成立，
∴m＞（x-2）e^x+lnx-x在x∈（0，3）恒成立，
设h（x）=（x-2）e^x+lnx-x，则h′（x）=（x-1）（e^x-$\frac{1}{x}$），
x＞1时，x-1＞0，且e^x＞e，$\frac{1}{x}$＜1，
∴e^x-$\frac{1}{x}$＞0，h′（x）＞0，
0＜x＜1时，x-1＜0，设u（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，
则u′（x）=e^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴u（x）在（0，1）递增，
∵u（$\frac{1}{10}$）＜0，u（1）＞0，
∴?x₀∈（0，1），使得u（x₀）=0，
由y=e^x和y=$\frac{1}{x}$的图象可得，
h（x）在（0，x₀）递增，在（x₀，1）递减，在（1，+∞）递增，
h（x₀）=1-$\frac{2}{{x}_{0}}$-2x₀，
∵x₀∈（0，1），∴-$\frac{2}{{x}_{0}}$＜-2，
又h（x₀）=1-$\frac{2}{{x}_{0}}$-2x₀＜-1-2x₀＜-1，
h（3）＞0，
∴x∈（0，3）时，h（x）＜h（3），
∴m≥h（3），即m∈[e²+ln3-3，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．