Question

19．已知函数f（x）=（3x+1）e^x+1+mx（m≥-4e），若有且仅有两个整数使得f（x）≤0，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{5}{e}$，2]
• B． [-$\frac{5}{2e}$，-$\frac{8}{{3{e^2}}}$）
• C． [-$\frac{1}{2}$，-$\frac{8}{{3{e^2}}}$）
• D． [-4e，-$\frac{5}{2e}$）

Answer 1

分析 根据不等式的关系转化为两个函数的大小关系，构造函数g（x）=mx，h（x）=-（3x+1）e^x+1，利用g（x）≤h（x）的整数解只有2个，建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：由f（x）≤0得（3x+1）e^x+1+mx≤0，
即mx≤-（3x+1）e^x+1，
设g（x）=mx，h（x）=-（3x+1）e^x+1，
h′（x）=-（3e^x+1+（3x+1）e^x+1）=-（3x+4）e^x+1，
由h′（x）＞0得-（3x+4）＞0，即x＜-$\frac{4}{3}$，
由h′（x）＜0得-（3x+4）＜0，即x＞-$\frac{4}{3}$，
即当x=-$\frac{4}{3}$时，函数h（x）取得极大值，
当m≥0时，满足g（x）≤h（x）的整数解超过2个，不满足条件．
当m＜0时，要使g（x）≤h（x）的整数解只有2个，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{h（-2）≥g（-2）}\\{h（-3）＜g（-3）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{5{e}^{-1}≥-2m}\\{8{e}^{-2}＜-3m}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m≥-\frac{5}{2e}}\\{m＜-\frac{8}{3{e}^{2}}}\end{array}\right.$，即-$\frac{5}{2e}$≤m＜-$\frac{8}{{3{e^2}}}$，
即实数m的取值范围是[-$\frac{5}{2e}$，-$\frac{8}{{3{e^2}}}$），
故选：B

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合以及利用构造法，构造函数，利用数形结合建立不等式关系是解决本题的关键．