题目内容

11．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a^x}，x＜0\\（a-4）x+3a，x≥0\end{array}$满足[f（x1）-f（x2）]（x1-x2）＜0对定义域中的任意两个不相等的x1，x2都成立，则a的取值范围是$（0，\frac{1}{3}]$．

分析 由题意可得函数f（x）在定义域内单调递减，故有 $\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{{a}^{0}≥0+3a}\\{a-4＜0}\end{array}\right.$，由此求得a的范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a^x}，x＜0\\（a-4）x+3a，x≥0\end{array}$
满足[f（x1）-f（x2）]（x1-x2）＜0对定义域中的任意两个不相等的x1，x2都成立，
∴函数f（x）在定义域内单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{{a}^{0}≥0+3a}\\{a-4＜0}\end{array}\right.$，求得0＜a≤$\frac{1}{3}$，
故答案为：$（0，\frac{1}{3}]$．

点评 本题主要考查函数的单调性的应用，属于基础题．

练习册系列答案
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19．函数y=ln（-x2+2x+8）的单调递增区间是（　　）
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（2）设cn=anbn，求数列{cn}的前项n和Tn．
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17．已知函数f（x）=alnx-x2+1．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为4x-y+b=0，求实数a和b的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若a＜0，且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有|f（x1）-f（x2）|≥|x1-x2|，求a的取值范围．

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