Question

5．已知函数f（x）=x³-2lnx．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设g（x）=x³-x+t，若函数h（x）=f（x）-g（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上（e为自然对数的底数，e≈2.718）恰有两个不同的零点，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得函数f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（Ⅱ）由题意可得t=x-2lnx在$[\frac{1}{e}，e]$上恰有两个不同的实根，令k（x）=x-2lnx，求出导数和单调区间，可得极值，即为最值，求得端点处的函数值，即可得到所求t的范围．

解答 解：（Ⅰ）函数定义域为（0，+∞），
f（x）的导数为$f'（x）=3{x^2}-\frac{2}{x}$，
曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为1，又f（1）=1，
可得所求切线方程为y-1=1（x-1），即x-y=0；
（Ⅱ）函数h（x）=-2lnx+x-t在$[\frac{1}{e}，e]$上恰有两个不同的零点，
等价于-2lnx+x-t=0在$[\frac{1}{e}，e]$上恰有两个不同的实根，
等价于t=x-2lnx在$[\frac{1}{e}，e]$上恰有两个不同的实根，
令k（x）=x-2lnx，则$k'（x）=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}$，
当$x∈（\frac{1}{e}，2）$时，k'（x）＜0，可得k（x）在$（\frac{1}{e}，2）$递减；
当x∈（2，e]时，k'（x）＞0，即有k（x）在（2，e]递增．
故k_min（x）=k（2）=2-2ln2，
又$k（\frac{1}{e}）=\frac{1}{e}+1，k（e）=e-1$，
由$k（\frac{1}{e}）-k（e）=2-e+\frac{1}{e}＜0$，可得$k（\frac{1}{e}）＜k（e）$，
则$k（1）＜t≤k（\frac{1}{e}）$，即$t∈（2-2ln2，1+\frac{1}{e}]$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想，以及参数分离和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．